基礎線性代數

第1章 線性代數緒論 
1-1 線性代數的內容 
1-2 線性代數的範疇 
1-3 純量、向量、矩陣與八元數的緣起 
1-4 向量與矩陣的關係 
1-5 線性代數的基本元素 
1-5-1 維度初探 
1-5-2 向量 
1-5-3 矩陣 
1-5-4 向量空間 
1-6 向量的維度、矩陣的維度與向量空間的維度 
1-7 增廣矩陣法 
1-8 線性代數的架構 

第２章 向量與矩陣 
2-1 向量和矩陣 
2-1-1 向量的運算 
2-1-2 矩陣的運算 
2-1-3 矩陣和向量的乘法運算 
2-1-4 矩陣分區 
2-1-5 向量與向量的乘積 
2-1-6 外積與線性映射 
2-1-7 矩陣與向量的乘積 
2-1-8 矩陣與矩陣的乘積 
2-2 矩陣相乘的四種圖像 
2-3 矩陣的跡 
2-4 基本矩陣 
2-5 逆矩陣和逆置操作 
2-6 逆矩陣的幾何解釋 
2-7 轉置操作 
2-8 置換矩陣 
2-9 對稱矩陣 
2-9-1 對稱矩陣的特性 
2-9-2 斜對稱矩陣（Skew symmetric matrix）的特性 
2-9-3 建構對稱矩陣的方法 
2-10 正交矩陣與正交歸一矩陣 
2-10-1 正交矩陣 
2-10-2 正交矩陣的特性 
2-10-3 正交轉換的特性 
2-10-4 對稱矩陣正交對角化的演算 
2-11 Hermitian矩陣 
2-12 么正矩陣 
2-13 冪零矩陣 
2-14 冪等矩陣 
2-15 正規矩陣 

第3章 解線性方程式的基礎 
3-1 樞軸變數與自由變數 
3-2 梯形矩陣、列梯矩陣和最簡列梯矩陣 
3-2-1 梯形矩陣 
3-2-2 列梯矩陣 
3-2-3 最簡列梯矩陣 
3-3 列簡化法 
3-4 樞軸變數與自由變數 
3-5 矩陣的LU分解與求解方程式 
3-5-1 主子式 
3-5-2 矩陣的LU分解 
3-5-3 A = LU和PA = LU 
3-5-4 LU分解的演算法 

第4章 線性方程組 
4-1 線性代數的幾何原理 
4-1-1 向量的幾何圖像 
4-1-2 線性方程組的幾何圖像 
4-2 線性幾何和線性方程組 
4-2-1 線性空間的交點 
4-2-2 向量的線性組合 
4-3 線性聯立方程組的四種圖像 
4-4 矩陣方程組的解 
4-5 解線性方程組的方法 
4-5-1 後向替代法 
4-5-2 求解線性方程組──LU分解 
4-5-3 求解線性方程組──Gauss-Jordan消去法 
4-6 最簡列梯矩陣與線性方程組的完整解 
4-7 一致的方程組與不一致的方程組 
4-8 方程組解和矩陣表示的關係 

第5章 向量空間 
5-1 向量空間與向量子空間 
5-2 函數和向量的關係 
5-3 向量子空間的交集與聯集 
5-4 矩陣的四個基本向量子空間 
5-5 向量子空間的維度 
5-6 四個基本向量子空間基底向量的定義 
5-6-1 由定義求四個基本向量子空間 
5-6-2 以圖像法求四個向量子空間 
5-6-3 以增廣矩陣法求四個向量子空間 
5-7 對偶空間 
5-8 正交補餘 

第6章 線性轉換與投影 
6-1 線性轉換 
6-2 線性變換與矩陣 
6-3 矩陣變換的幾何意義 
6-4 平面的線性變換的幾何學 
6-5 齊次座標 
6-6 正交投影 
6-7 Gram-Schmidt 過程 
6-8 投影矩陣 
6-8-1 正交投影矩陣 
6-8-2 投影矩陣的表示式 
6-8-3 有序基底 
6-9 改變基底向量的效應 
6-9-1 基底變化對向量表示的影響 
6-9-2 基底變化對線性轉換矩陣表示的影響 
6-10 基底變化對線性算符矩陣的影響 
6-11 QR 分解 
6-11-1 QR分解與求解方程式 
6-11-2 矩陣的QR分解 
6-11-3 矩陣A行向量是獨立的 
6-11-4 矩陣A行向量不是獨立的 
6-11-5 完整的QR分解 

第7章 行列式 
7-1 行列式的定義 
7-2 行列式的計算 
7-3 行列式的性質 
7-4 三個計算行列式值的方法 
7-4-1 行列式的樞軸法 
7-4-2 行列式的置換展開 
7-4-3 行列式的餘因數法 
7-5 行列式和幾何學 
7-6 Cramer 規則 
7-7 非齊次方程式和參數變化法 

第8章 本徵值與本徵向量 
8-1 本徵值與本徵向量 
8-2 本徵值和本徵向量的幾何意義 
8-3 幾何重根數與代數重根數 
8-4 本徵值的三個性質 
8-5 矩陣對角化 
8-6 相似轉換的重要特性 
8-7 矩陣的平方根 
8-8 矩陣可以被對角化的條件 

第9章 正定矩陣與應用 
9-1 範數 
9-2 波譜分解 
9-3 二次形式 
9-4 二次形式的矩陣的基底轉換規則 
9-5 主軸理論 
9-6 主軸的幾何學觀點 
9-7 正定矩陣 
9-8 Cholesky分解 
9-9 多變數梯度 
9-9-1 Rayleigh商的極值 
9-9-2 極大化極小原理與極小化極大原理 

第10章 不變子空間 
10-1 不變子空間 
10-2 廣義本徵向量初探 
10-3 塊狀三角形矩陣或塊狀對角矩陣的演算法 
10-4 不變子空間的圖像概念 
10-5 不變子空間的定義 
10-6 不變子空間的基底向量 
10-7 幾個重要的例子 
10-8 塊狀三角形矩陣 
10-9 由線性獨立向量延伸出一組基底的方法 
10-10 對角區塊形式與不變子空間的直和 

第11章 Jordan標準式 
11-1 複數與實數的差異 
11-2 向量空間的實數化和複數化 
11-2-1 複數 
11-2-2 複數向量 
11-2-3 複數向量空間 
11-2-4 複數向量矩陣的共軛 
11-2-5 複數向量矩陣 
11-2-6 複數線性轉換 
11-3 實數矩陣的複數可對角化與複數不可對角化 
11-3-1 複數可對角化的實數矩陣 
11-3-2 複數不可對角化的實數矩陣 
11-4 複數本徵值的動力學 
11-4-1 複矩陣與複數的類同 
11-4-2 一個具有複數本徵值的(2 × 2)矩陣的動力學過程 
11-5 Jordan分解 
11-6 Jordan形式的矩陣理論基礎 
11-6-1 行空間、零核空間與Jordan標準基底 
11-6-2 Jordan點圖 
11-7 Jordan標準形式初探 
11-8 廣義本徵向量 
11-9 廣義本徵向量鏈 
11-10 方陣和Jordan標準形式的關係 
11-11 Jordan標準形式的演算法 
11-12 點圖與Jordan基底向量 
11-12-1 上面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式 
11-12-2 下面對齊的Jordan點圖寬度和長度的方式 
11-13 Jordan標準形式的演練 
11-14 Jordan形式的次冪運算 

第12章 奇異值分解 
12-1 奇異值分解的直覺定義 
12-2 SVD的演算法 
12-3 奇異值分解的演算與應用 
12-4 SVD和四個基本子空間 
12-5 奇異值分解的原理 
12-6 極分解 
12-6-1 右／左極分解 
12-7 廣義逆矩陣 
12-8 左逆矩陣和右逆矩陣、廣義逆矩陣 
12-8-1 左逆矩陣 
12-8-2 右逆矩陣 
12-8-3 廣義逆矩陣與四個基本向量子空間 
12-9 廣義線性模型 
12-9-1 簡單回歸和多元回歸 
12-9-2 線性最小方乘法問題的一般解 
12-9-3 最小範數解和最小平方誤差問題 
12-9-4 不完全確定方程組和過度確定的方程組 

參考資料 
索引