音樂與數學

《音樂與數學》是作者在北京大學開設通識教育核心課程“音樂與數學”的講義基礎上編寫而成的。本書通過介紹音樂與數學（也包括一些聲學方面的知識）之間密不可分、卻又往往不為人知的關係，探討音樂這門抽象的藝術與數學和自然科學之間的互動，比較兩者的思想方法之異同，打通文理界限，提高學生的藝術修養和分析能力，達到提高學生綜合素質的目的。因為是面向全校各個專業方向的本科生，所以在課程設計方面並不要求讀者具有音樂理論方面的先修知識，而是從零開始介紹基礎樂理。
 
在數學方面，只假定讀者具有高中數學的知識水準。對於書中需要用到的幾何、組合計數等方面的知識都儘量做了比較詳細、直觀的介紹。為了既保持敘述的連貫性，又保持數學邏輯的完整性，我們把作為現代音樂理論基礎的集合理論及其相關的基礎知識集中起來作為附錄A，同時把音樂變換理論所需要的群論工具，單獨寫了一個附錄B放在書的末尾，專門介紹群論的基本概念和與本書內容相關的定理和方法等，以供讀者隨時查詢。
 
全書內容大致可以分成三個部分。第部分包括前三章，從介紹音樂的一些基本知識開始，進而通過弦的振動方程介紹泛音列的生成，梅森定律等，第三章介紹律學。這部分內容是介紹音樂與數學之間關係時總會講到的比較傳統的內容。第四章介紹了一些重要的音樂概念：調式、音階、和絃等，基本上屬於音樂基礎理論，並沒有涉及數學。然而這一章是承前啟後的，它為後面的章節打下了基礎。第五～八章屬於第三部分，分別介紹了如何用數學方法來分析和理解音樂的三大要素：旋律、節奏、和聲，以及非確定性在音樂理論和實踐中的作用。書中安排了一些習題，其中一部分是幫助讀者加深理解相關知識的練習，另一部分提供了對正文內容的進一步推廣，還有一些則是提出了引發讀者進一步思考的問題。
 
《音樂與數學》可供高等學校素質教育、通識教育同類課程的教材或者教學參考用書,也可供音樂、數學等領域的研究者參考。對於感興趣的廣大讀者而言，也可以把本書作為音樂與數學方面的入門導引。

第一章音樂基礎知識............................................1
x1.1 聲音...................................................1
x1.2 樂音體系................................................6
x1.3 唱名...................................................11
x1.4 音樂的坐標系||五線譜....................................13
x1.5 音程...................................................16
x1.6 協和音程與不協和音程.....................................20

第二章弦的振動................................................24
x2.1 一維振動方程............................................24
x2.2 一維振動方程的解.........................................25
x2.3 振動模態與泛音...........................................27
x2.4 達朗貝爾行波解...........................................29
x2.5 傅裡葉級數與撥弦振動.....................................31

第三章樂律||樂音體系的生成...................................38
x3.1 三分損益法..............................................38
x3.2 畢達哥拉斯五度相生律.....................................41
x3.3 純律與中庸律............................................44
x3.4 平均律..................................................49
x3.5 音分...................................................54
x3.6 連分數..................................................56

第四章調式、音階與和絃.........................................61
x4.1 調式與音階..............................................61
x4.2 和絃...................................................65
x4.3 調式中的和絃............................................68

第五章音樂與對稱..............................................76
x5.1 等價關係與音類...........................................76
x5.2 旋律的移調變換...........................................81
viii  
x5.3 旋律的逆行與倒影.........................................86
x5.4 旋律的變換群............................................89
x5.5 十二音技術..............................................95
x5.6 音列的計數..............................................101

第六章節奏...................................................109
x6.1 固定節奏型..............................................109
x6.2 節奏型的影子與輪廓.......................................113
x6.3 比約克倫德演算法與歐幾裡得節奏..............................116
x6.4 相移與《拍掌音樂》........................................118

第七章和絃與音網..............................................127
x7.1 和絃的幾何..............................................127
x7.2 音階...................................................136
x7.3 三和弦之間的變換.........................................142
x7.4 音網...................................................146
x7.5 新黎曼群................................................153

第八章音樂與隨機性............................................160
x8.1 音樂骰子遊戲............................................160
x8.2 隨機音樂................................................166
x8.3 瑪律科夫鏈..............................................170
x8.4 有色彩的雜訊, 1=f 音樂.....................................174
附錄A 集合與映射..............................................180
附錄B 與書中內容有關的群論知識..................................185
參考文獻.......................................................195
名詞索引.......................................................200
人名索引.......................................................206
 

王傑，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。曾任北京大學副校長、國家自然科學基金委員會常務副主任，現任中國密碼學會理事長，中國數學會組合數學與圖論專業委員會副主任。曾獲霍英東青年教師獎、政府特殊津貼。