速查！數學大百科事典：127 個公式、定理、法則


	[節省時間的數學公式定理速查手冊] 　　AI 機器學習、自動駕駛、機器人、量子電腦等等都是現在經常聽到的詞彙，許多人紛紛投入這些深具未來性的當紅領域。從業者不僅僅是工程師，包括行銷或業務人員也都需要懂，至少數學邏輯觀念一定要足夠才行。　　不過，當一般人打算重拾數學時，由於教科書的內容過於冗長，在學習上需要花不少時間，因此本書著重在重要的公式、定理、法則，讓讀者有效率的查閱，將以前學過以及職場上需要用到的數學快速複習。而且小編也會適時補充幫助理解。　　此外，本書也適合高中生複習數學之用，省略冗長的推導過程，直接將公式定理等列出，並提醒重要觀念以及各數學主題之間的相關性。作者在各單元也會納入一些商業、工程、影像處理、3D 動畫、AI 機器學習......等範例，讓讀者瞭解學習數學不是只會解題而已，還要知道如何應用。　　本書亦考慮到讀者閱讀的舒適性，採用 17公分x23公分尺寸製作，版面要比坊間類似書籍為了節省成本用的 15公分x21公分來得大，文字易讀性自然提高許多，是本書貼心之處。　　[各單元的架構] 　　本書將中學數學的各個主題獨立成單元來介紹。一開始會先對「通識學習」「工作應用」「升學考試」的重要姓分別給定 1~5 顆星的建議，星數越多就越重要。在 Point 框框內的內容是本單元快速查閱的重點整理，包括公式、定理、法則的說明，並於其後有較詳細的解說。另外在 Business 區塊是本單元主題的應用領域舉例，可以幫助理解這些公式、定理可以用在哪些方面。本書特色　　● 讓需要查閱數學公式的讀者能夠快速找到，並能有效率的複習。　　● 穿插數學在 AI 機器學習、工程與商業上的應用，讓讀者瞭解數學能如何用。　　● 依「通識學習」「工作應用」「升學考試」的重要性給定 1~5 星等級建議。


	目錄 Chapter01 中學數學回顧重點是推廣、抽象、邏輯的觀念 01 正負數用數線來理解負數的計算銀行貸款與溫度 02 無理數、平方根無法用分數表示的數字為什麼一定要把分母有理化 03 代數式使用代數式的理由抽象化的優點用代數式寫程式 04 交換律、分配律與結合律理所當然的交換律為何代數式不使用除號 05 乘法公式與因式分解一定要反覆練習為什麼要做因式分解？用因式分解來看職員的付出與公司的利益 06 一次方程式方程式是為了求出未知數的答案（解）求出商品價格 07 聯立方程式聯立方程式當中存在著兩個或兩個以上的未知數求蘋果與橘子的價格 08 比例日常生活中的比例什麼是座標？ 09 反比例日常生活中的反比例速率、時間、距離公式中的比例與反比例 10 圖形的性質（三角形、四邊形、圓）至少需要掌握的圖形基本性質 11 圖形的全等與相似相似的意思無法製造超大型飛機的原因 12 證明為什麼要學證明？證明等腰三角形的兩底角相等 13 畢氏定理重要的畢氏定理將畢氏定理推廣到空間圖形電視螢幕的尺寸 Column 絕對值代表距離 Chapter02 一次、二次函數與方程式、不等式函數可以用來做甚麼？一次函數與二次函數的重要性用函數圖形來思考，較容易理解方程式與不等式 01 函數及其定義甚麼是函數？反函數、多變數函數、合成函數 02 一次函數與圖形一次函數的圖形為直線斜率與截距之所以重要的理由 03 二次函數與圖形二次函數圖形是拋物線頂點之所以重要的原因 04 二次方程式的解法二次方程式的三種解法點心公司的利潤 05 二次方程式的虛數根根號中出現負數時價格為虛數!? 06 二次方程式的判別式、根與係數的關係判別式是用來判斷根的狀況快速解題 07 高次函數函數次方數越增加，圖形就越蜿蜒利用高次函數作資料點的擬合 08 因式定理與餘式定理用實例去考慮因式定理就不難了多項式的除法運算高次多項式的解法 09 不等式的解法在不等式兩邊乘上負數時要特別小心！二次不等式的解法 10 不等式與滿足不等式可行解的區域不等式與可行解區域要畫出圖形利用線性規劃算出最大的銷售額 Column 確保網路安全的質因數分解 Chapter03 指數、對數指數可以方便我們處理很大的數值或很小的數值對數是指數的逆運算 01 指數指數是為了表示大數值的技巧求出「隼鳥號」探測器的速度 02 指數的推廣為何要將指數推廣到非整數？將指數推廣到無理數 03 指數函數的圖形性質指數函數的特徵指數函數的圖形複利的本利和計算 04 對數函數的定義對數是指數的逆運算對數的好處是？ 05 對數函數圖形的性質對數函數的特徵熵是使用對數定義出來的物理量 06 對數的換底公式使用換底公式的例題為何底數不能是 1 與負數？ 07 常用對數與自然對數常用對數與自然對數的性質利用對數表來計算如何利用電腦計算指數、對數？ 08 對數圖的使用方法對數尺度的意義將二極體的電流－電壓特性以對數圖表示 09 指數、對數的物理單位表示指數的單位制詞頭分貝與地震規模 Column 數學世界的炸彈 Chapter04 三角函數三角函數是表示波的函數三角函數的重點 01 三角函數的基本公式先利用直角三角形熟悉三角函數利用「三角測量」求高度 02 三角函數的廣義角與圖形將定義由直角三角形轉變為單位圓描繪三角函數的圖形利用三角函數表示波 03 三角函數的和差角公式與其他公式讓考生哭泣的公式群使用於智慧型手機中電波的頻率變換 04 弧度制為什麼要使用弧度制？用軟體或程式計算三角函數要注意角度的單位 05 正弦定理與餘弦定理經常出題的正弦定理、餘弦定理三角形面積公式的整理 093 06 傅立葉級數（Fourier series）所有的波都可以用sin、cos 來理解聲音、光與頻率的關係 07 離散餘弦變換智慧型手機的照片中使用的三角函數影像的壓縮方法 Column 有效位數：20 與20.00 的差異 Chapter05 微分甚麼是微分？可以處理無限與積分的關係 01 極限與無限大容易被誤解的極限解讀函數值範圍的方法 02 導數（微分的定義）先掌握微分的概念 03 導函數 x^n 的微分很簡單導函數的意義 04 三角函數、指數、對數函數的微分三角函數的微分納皮爾常數登場 05 微分的乘積法則與鏈鎖法則確認公式正確性的方法將 dy/dx 當成分數處理 06 切線公式 116 知道微分後，切線就變得簡單了利用電腦編輯曲線 07 高階導函數與函數的凹性高階導函數函數的凹性 08 均值定理與可微分函數理所當然的定理？函數可微分的意義 Column dy/dx 是分數嗎？ Chapter06 積分甚麼是積分？利用積分求面積的方法 01 積分的定義與微積分基本定理積分是求面積的工? 積分符號的意義積分是微分的逆運算 02 不定積分不定積分的求法甚麼是積分常數 C 03 定積分的計算方法定積分沒有積分常數定積分的範圍與面積的正負號 04 分部積分法分部積分是微分乘法法則的逆運算 05 變數變換法（代換積分法）變數變換法是微分鏈鎖法則的逆運算 06 積分與體積體積是由無限多個薄板組合成的 07 曲線的長度曲線長度是利用分割成無限多個短直線加總 08 位置、速度、加速度的關係牛頓的運動方程式 Column 建構微積分理論的牛頓與萊布尼茲 Chapter07 高等微積分對高中生也有學習的幫助微分方程式的解是函數多變量函數的處理 01 微分方程式微分方程式是求函數的方程式微分方程式的解法運動方程式、放射性元素的衰變 02 拉普拉斯變換利用拉普拉斯變換簡單解出微分方程式解出電子電路的微分方程式 03 偏微分與多變量函數多變量函數的微分是偏微分多變量函數的極大值、極小值問題 04 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法的是很好用的技巧統計分析的極大值、極小值 05 多重積分多變量函數的積分為多重積分由密度算出重量 06 曲線積分與曲面積分多變量函數積分的範圍與路徑計算每個路徑需要的能量 Column ε-δ 理論 Chapter08 數值分析計算數值要靠演算法處理數值的難度 01 線性逼近用切線來逼近曲線函數單擺的等時性也是近似值 02 泰勒展開式、馬克勞林展開式函數以 x^n 多項式的和，來表示馬克勞林展開式電腦的計算 03 牛頓- 拉弗森法利用切線求方程式解的方法收斂或發散 04 數值計算的微分（差分）在數值計算中的微分就是差分將腳踏車的加速資料進行微分 05 數值積分（梯形公式、辛普森積分法）以甚麼為基準來計算面積？指數函數的積分計算 06 微分方程式的數值解法（尤拉方法）尤拉方法是將曲線以切線逼近雙擺運動 Column 電腦是以 2 進位做運算 Chapter09 數列數列與離散數學息息相關數列的和很重要 01 等差數列等差數列相鄰項的遞增或遞減為固定的數字計算金字塔的石頭數量 02 等比數列等比級數的想法計算利潤損失的萊布尼茲係數 03 使用 Σ 記號 Σ（讀做sigma）其實很好懂 Σ記號的不同寫法 04 遞迴關係式遞迴關係式是表示數列局部關係的式子細胞自動機與費波納契數列 05 無限級數將無限多個數相加，重點是能否收斂到一個唯一的值循環小數的表示 06 數學歸納法如同骨牌一樣的數學歸納法數學歸納法的悖論 Column 認識希臘字母 Chapter10 圖形與方程式將圖形用方程式表示極座標適合處理圓形 01 直線方程式直線方程式的圖形在螢幕描繪直線的做法 02 圓方程式圓方程式的意義在螢幕描繪圓的做法 03 二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）橢圓、雙曲線、拋物線的特徵衛星的軌道 04 平移後的圖形方程式移動圖形的方法電腦影像處理使用的仿射變換 05 點對稱、線對稱對稱變換的方法奇函數與偶函數的積分 06 圖形的旋轉旋轉要靠三角函數旋轉座標系中的離心力與科氏力 07 參數式參數式有其必要擺線的分析 08 極座標極座標是表示方向與距離的座標系船舶的航行 09 三維空間圖形的方程式比較二維與三維空間 Column 數學也需要空間認知能力 Chapter11 向量向量不只是箭頭向量乘積有不同的定義 01 向量的定義與符號向量是同時具有大小與方向的量力的分解 02 向量的座標表示與位置向量向量數值化線段的內分點公式 03 向量的線性獨立線性獨立與線性相依實際數據在做座標軸轉換時的考量 04 向量內積（向量平行、垂直的條件）向量內積的意思物體受力移動所做的功 05 平面圖形的向量方程式使用向量方程式的好處 06 空間向量向量在平面與三維空間會改變與不變的性質就算是超弦理論的九維空間也適用 07 空間圖形的向量方程式空間圖形更容易看出向量方程式的優點三維 CAD 資料的二維化 08 向量的外積外積的計算結果為向量旋轉馬達的力 09 速度向量與加速度向量利用向量表示平面上的運動等速率圓周運動的分析 10 梯度、散度、旋度向量微積分並不可怕馬克士威方程式 Column 抽象化可以表示更多的東西 Chapter12 矩陣矩陣可以將向量做線性變換矩陣與程式設計 01 矩陣基本運算規則要特別注意矩陣乘法矩陣相乘的哈達瑪積 02 單位矩陣、反矩陣、行列式反矩陣可視為矩陣的倒數 03 矩陣與聯立方程式利用矩陣解聯立方程式的優點利用高斯消去法求聯立方程式的解 04 矩陣與線性變換矩陣有利程式計算平移的矩陣表示 05 特徵值與特徵向量直觀理解特徵值與特徵向量矩陣的對角化 06 三階方陣矩陣越大，計算就越複雜利用高斯消去法求反矩陣 Column 矩陣的用途很大 Chapter13 複數（虛數）由實數進入複數的世界複數擴展了科技的進步 01 複數的基礎複數的絕對值利用複數表示反射係數 02 複數平面與複數極式複數適合用來表示旋轉 03 尤拉公式結合指數函數與三角函數的公式以複數表示交流電路 04 傅立葉變換傅立葉變換的意義甚麼是函數正交、函數內積無線通訊技術與傅立葉變換 05 四元數四元數可以擴大複數的應用範圍 3D 動畫受惠於四元數的快速運算 Column 甚麼是虛數的時間 Chapter14 機率機率的重點是理解語意真實世界的機率與數學的機率 01 計數原理計數時不要少算、多算是加法？還是乘法？ 02 排列公式有排列順序時，則使用排列公式可重複選取的排列總數 03 組合公式組合公式使用於不考慮排列順序的情形重複組合排列與組合的整理由巴斯卡三角形推導出的二項式定理 04 機率的定義「各種事件出現的機率均等」的問題數學的機率與統計的機率 05 機率的加法原理互斥表示沒有共通的部分 06 獨立事件從獨立事件的反面理解買尿布與買啤酒的機率 07 重複試驗重複試驗是利用組合公式的概念應用於風險管理的帕松分布 08 條件機率與機率的乘法原理條件機率的分母會因條件而改變 09 貝氏定理熟悉條件機率就更容易理解貝氏定理判斷垃圾郵件 Column 蒙地卡羅法（Monte Carlo method） Chapter15 基礎統計瞭解平均值與標準差就算入門統計了常態分布是統計學上的最大發現統計成立的前提 01 平均值為何要算平均所得分布的分析 02 變異數與標準差標準差為離散程度的指標為何要平方？計算變異數與標準差使用的函數製程能力指標 03 相關係數相關係數用來表示兩種數據的相關程度投資組合 04 機率分布與期望值藉由實例學習機率分布博奕的期望值 05 二項分布與帕松分布二項分布與帕松分布的關係擊出安打的次數、瑕疵品的個數 06 常態分布為什麼常態分布這麼重要？常態分布非萬能 07 偏度、峰度、常態機率圖掌握常態分布的偏離程度常態機率圖的使用方法 08 大數法則與中央極限定理怎樣才算「多」？中央極限定理：樣本平均值的分布會趨近常態分布 Column 數據是統計的基礎 Chapter16 統計進階統計需要電腦幫忙統計推論是藉由抽樣來推論母體迴歸分析可以預測未來 01 母體平均數的區間估計由樣本統計值估算母體平均值成年男性的平均身高 02 母體比率的區間估計由樣本統計值估算母體平均電視節目的收視率 03 假設檢定工廠間的產品差異 04 單變量迴歸分析迴歸分析的意義活動的效果 05 多變量迴歸分析多個自變數的迴歸分析稱為多變量迴歸分析氣候條件與農作物收穫量的關係 06 主成分分析主成分分析的目的品牌印象調查 07 因素分析因素分析著重於意義的解釋顧客問卷的分析 Column 數據是最大的敵人