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一、虛數的誕生歷程 自然數 零 負數 負數的乘法 有理數 ①∼② 無理數 實數 Column 1 小數的表示法誕生於16世紀 Column 2 畢達哥拉斯認為有理數是數的一切 Column 3 古代美索不達米亞黏土版刻畫的 2 Column 4 古人是這樣作平方根的圖 Column 5 證明 2是無理數 Column 6 用分數表示 2的方法—連分數 Column 7 何謂方程式? Topics 實數的完成與無窮的概念 二、何謂虛數 虛數是什麼? 解不開的問題 虛數的誕生 ①∼② 虛數獲得市民權 Column 8 「二次方程式」不一定有實數解 Column 9 有4000年歷史的「二次方程式」 Column 10 以二次方程式的「公式解」求解卡當諾問題 Column 11 虛數誕生的契機是16世紀的 「數學擂台」 Column 12 卡當諾喜歡賭博,還促成 機率論發展 Q&A 1 複數平面為何又稱「高斯平面」? Q&A 2 虛數能比較大小嗎? 三、虛數與複數 複數的表示方式 複數的加法 複數的乘法 ①∼② 以虛數求解奇妙的謎題 ①∼② 高斯與複數 ①∼② 數擴張的終點站 Column 13 以複數平面確認 「卡當諾問題」 Column 14 為什麼不是「負負得負」? Column 15 複數的「極式」是什麼? Column 16 在幾何學上運用複數平面 Column 17 複數平面的反轉與無窮遠點 Q&A 3 -1的四次方根、八次方根、十六次方根該如何計算? Column 18 證明「代數基本定理」 Column 19 碎形與複數 Column 20 以複數的牛頓法求解碎形 Topics 黃金比例、正五邊形與複數 四、人類的至寶歐拉公式 三角函數 泰勒展開 ①∼② 何謂虛數次方? 歐拉的兩個公式 π、i與e 鑑賞歐拉公式 為什麼歐拉公式重要? Column 21 何謂三角函數? Column 22 何謂自然對數的底數「e」? Column 23 何謂圓周率「π」? Column 24 為近代數學奠基的天才 數學家歐拉 五、虛數與物理學 光、天體與虛數 四維時空與虛數 ①∼② 未知粒子與虛數 量子力學與虛數 ①∼③ Q&A 4 為什麼不存在的虛數跟自然界有關? Topics 量子力學與複數 Topics 小林-益川理論與虛數
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