數學建模33講：數學與繽紛的世界

本書利用數學建模方法討論了人類社會和自然界中的33個話題，既包括對經典話題的全新闡釋，也包含對若干全新話題的原創研磨，不僅解答了大眾對於數學的 常見疑問：“數學有什麼用？” 是以高中知識為主要工具、以數學建模為主要載體、以中學生能夠理解的方式，展現了數學研究的基本過程和思維方式。

33個話題充分體現了數學與生活的密切聯繫，講解了數學建模如何有效地解決跨學科問題，如何為生活中的現實需求建立合理有效的模型，如何在設計製造、生物醫學、機器學習，甚至在解決社會問題方面大顯身手。作者力求將抽象且嚴密的數學闡述得通透而有趣，凸顯數學的“形式之美”“邏輯之妙”與“大道至簡”。本書是為高中生、大學低年級本科生和愛好數學的大眾讀者開啟的一場妙趣橫生的數學思維之旅。

序 iii
自序 v
話題1：日常生活中的等差數列和等比數列 1
話題2：二次和三次函數樣條與資料的插值 9
話題3：指數函數與對數函數的普適價值 18
話題4：三角函數與極小曲面 27
話題5：概率的加法與乘法原理、加權平均的遞推 33
話題6：解析幾何與帶標籤資料的模糊線性分類 43
話題7：進制觀點下的分類、距離與解析 52
話題8：反覆運算預測的測不准原理與熵距 62
話題9：資料直徑、凸集及榮格定理 71
話題10：歐式幾何與離散幾何的橋樑——皮克定理及其應用 77
話題11：暗室與藝廊——平面幾何與照明 87
話題12：紐結與鐘斯多項式 93
話題13：同餘、解析幾何與亂數產生器 107
話題14：井蓋、滾木與等寬圖形 117
話題15：自平衡支架的設計與星形線 126
話題16：連分式、計算的自動修正和 數 137
話題17：黑暗森林法則與社會契約 145
話題18：太空牽引飛船的行駛守則 156
話題19：弓形面積計算的幾何方法與“弦切定比”曲線 166
話題20：長條圖均衡化與圖片去霧霾 173
話題21：曲線的受控形變、貝茲曲線與貝塞爾變換 180
話題22：沃羅諾伊圖與狄利克雷自由變形 189
話題23：動力系統的週期解與生態迴圈 195
話題24：帶有地域遷徙的傳染病模型 204
話題25：相似三角形與城牆長度估測 213
話題26：水面映字與半球映射 220
話題27：複數的幾何意義、共形變換與圖片掃描 226
話題28：再談藝廊攝像頭問題——二重監控 239
話題29：Sigmoid函數與萬有逼近定理 246
話題30：流方法、曲線和曲面的鑲嵌 260
話題31：社會發展與二八定律 273
話題32：墨菲定律與行業創新的推動策略 281
話題33：概率對決策的影響——確定性的喪失與均衡的建立 292
參考文獻及延伸閱讀 307

朱浩楠
 
高中數學教師，畢業于北京大學數學系，著有《面向建模的數學》（清華大學出版社，2020年）。