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序 第 1 章 拓樸學是什麼？ 「相同形狀」是什麼情況？ 1-1 「相同形狀」是什麼？ 1-2 位相的「相」是什麼？ 1-3 「同胚」是什麼圖形？ 1-4 位相的「位」是什麼？ 1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！ Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學 第 2 章 簡圖是什麼？ 是否能「一筆畫」完成？ 2-1 「柯尼斯堡七橋」問題 2-2 「歐拉圖形」是什麼？ 2-3 歐拉圖形的條件 2-4 「漢密頓圖形」是什麼？ 2-5 拓樸學的語源與發展 Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？ 第 3 章 認識拓樸不變量 圖形區別的工具 3-1 「歐幾里得空間」是什麼？ 3-2 「圖形」是什麼？ 3-3 「拓樸不變量」是什麼？ 3-4 「成分數」與「維度」是拓樸不變量 3-5 計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼？ 3-6 「單元分割」求歐拉示性數 3-7 「正多面體」的歐拉示性數 3-8 「T1、T2」的歐拉示性數 Column 3 「三菱形」能否一筆畫完不重覆？ 第 4 章 映射是什麼？ 理解拓樸學，不可不知「連續映射」 4-1 「映射」是集合到集合的對應 4-2 「連續映射」是什麼？ 4-3 「同胚映射」是什麼？ 4-4 舉例說明「同胚映射」 4-5 合痕形變與同倫形變 4-6 稱為「德恩扭轉」的同胚映射 Column 4 「定點定理」是什麼？ 第 5 章 流形是什麼？ 二維流形是指曲面 5-1 「流形」是什麼圖形？ 5-2 在流形上畫「座標」 5-3 「有邊界的流形」是有盡頭的圖形 5-4 「開流形」與「閉流形」的區別 5-5 「有邊界流形」的例子 5-6 閉曲面的「展開圖」是什麼？ 5-7 眼睛看不見，但可用展開圖表示的「射影平面」 5-8 曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」 5-9 流形的「方向」 5-10 以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」 5-11 「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」 Column 5 DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎？ 第 6 章 嵌入圖形與浸入圖形 探討空間中的圖形 6-1 「正則射影圖」是什麼？ 6-2 交叉交換轉為平凡扭結 6-3 四維空間中的扭結 6-4 「嵌入」是什麼？ 6-5 扭結為邊界的「塞弗特曲面」 6-6 「扭結的虧格」是「扭結的不變量」 6-7 「浸入」是什麼？ 6-8 「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形 6-9 「射影平面」浸入圖形 6-10 四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣？ Column 6 三維空間的射影平面是什麼形狀？ 第 7 章 認識基本群 探討「封閉繩子＝環路」 7-1 從繩子能否收回，認識曲面的形狀 7-2 能夠縮成一點就是「單連通」 7-3 「同倫環路」是什麼？① 7-4 「同倫環路」是什麼？② 7-5 「基本群」是什麼？ 7-6 「生成元」是什麼？ 7-7 「圓周」的基本群 7-8 「環面」的基本群 Column 7 架橋遊戲 第 8 章 扭結的不變量 不變動也知道是否等價 8-1 判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」 8-2 三種變形「萊德邁斯特移動」 8-3 「三色性」是扭結不變量 8-4 「聯立方程式」判斷是否具有三色性 8-5 「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量 Column 8 什麼是「複雜網路」？ 第 9 章 曲面幾何 三種曲率 9-1 彎曲狀態相同的「齊性流形」 9-2 「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態 9-3 「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態 9-4 圓柱、圓錐的高斯曲率為0？ 9-5 平坦環面的曲率為0 9-6 「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構 9-7 「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 . 9-8 「球面三角形」內角和大於180° 9-9 高斯－博內公式①──橢圓幾何結構 9-10 高斯－博內公式②──歐幾里得幾何結構 9-11 高斯－博內公式③──雙曲幾何結構 9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係 Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？ 第 1 0 章 宇宙是什麼形狀？ 可能的形狀有哪些？ 10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？ 10-2 一維球面與二維球面 10-3 三維球面──橢圓幾何結構 10-4 三環面──歐幾里得幾何結構 10-5 K 2 ×S 1 ──歐幾里得幾何結構 10-6 透鏡空間──橢圓幾何結構 10-7 龐加萊十二面體空間──橢圓幾何結構 10-8 塞弗特－韋伯空間──雙曲幾何結構 10-9 積與束 10-10 幾何化猜想 英日文參考文獻 索引
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